Science and its times. Vol 1 2000B.C. to A.D. 699 (Parte 13)

Todo el mundo piensa en Pitágoras y su grupo como unos filósofos que pasaban los días paseando y pensando. Pero parece ser que en realidad eran más una secta aislada del resto: En un intento de superar la idea griega de la transmigración, se buscaba la armonía con el Universo que haría innecesaria la reencarnación para hacerse más puro. Y para estudiar esa armonía, que representaban con la música, llegaron a las matemáticas como intento "objetivo" de encontrar esa armonía pues las matemáticas lo explicarían todo.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Kapitolinischer_Pythagoras_adjusted.jpg

Muy aislados no debían estar porque parece ser que tocaron las narices a algunos jefazos en la isla de Samos y les dieron la del pulpo y tuvieron que poner tierra por medio hasta Italia.

El carácter sectario del grupo se puede poner de manifiesto en el hecho de que no se conservan textos originales. Así que nunca se sabrá si lo que se conoce ahora de las ideas pitagóricas es lo que realmente pensó esa gente o son las interpretaciones que se hicieran posteriormente.

Además del famoso teorema de Pitágoras (el de los catetos y la hipotenusa), también demostraron que la relación entre e lado y la diagonal de un cuadrado es siempre un número irracional.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Pythagoras-2a.gif/220px-Pythagoras-2a.gif

Curiosidad: al manejo matemático de los números se le llama "cálculo". Que deriva del término latino calculus, que deriva del griego no sé cual, pero que significa guijarros (a las piedras que se forman en el riñón se les llama...cálculos renales). Y eso es así porque los pitagóricos usaban guijarros para hacer sus cuentas y representar números: según la configuración de los guijarros en triángulos, cuadrados o rectángulos. Sí que eran raros estos tíos.

Y empezaron estudiando la armonía matemática de la música y pasaron a estudiar la armonía matemática del cosmos. Incluso hay quien considera que fue Pitágoras el primero en deducir que la Tierra es redonda.

Es decir, que fueron los primeros en considerar las matemáticas como un saber en sí mismo y no sólo una herramienta para contar o resolver problemas o permitir construir estructuras.

Y eso es así hasta hoy en día.

Dicen que en la entrada de la Academia de Platón había esta frase: que no entre nadie que no sepa geometría. Algunos posteriormente la interpretaron como que para filosofar se necesita la lógica que entraña una disciplina como las matemáticas.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/20/Athens_Plato_Academy_Archaeological_Site_2.jpg

Y de ahí se pasó a las dos grandes corrientes filosóficas de la época: la que consideraba que si la realidad era esencialmente estática, no había cambio (o dicho de otra manera, el cambio que observamos es sólo una ilusión, las ideas son lo único real y lo demás sombras en el fondo de una caverna); a que opinaba todo lo contrario y que todo estaba en constante cambio (y lo que era ilusorio era considerar que existe la permanencia, tal como razonaban Parménides [creo] y los suyos).

Una frase de Aristóteles para el empeño de los curas en que nos portemos bien (según su concepto de bien, claro): Si el no placer es bueno, lo no bueno será placentero. 

Un gran avance en las matemáticas fue la conseguida por el intento de los griegos clásicos de resolver, usando sólo una regla (sin escala) y un compás, es decir, con la geometría, estos tres problemas:

- La cuadratura del círculo.

- Trazar la trisectriz de un ángulo.

- Duplicar un cubo.

Vaya si se intentó resolverlos. Con poco éxito, pues ya se sabe (ellos no, fueron los primeros) que sólo uno de ellos se puede resolver geométricamente con las condiciones marcadas.

La cuadratura del círculo no es convertir un círculo en un cuadrado (algo que piensa más gente de lo que parece), sino ser capaz de trazar un cuadrado cuya área sea la misma que la de un círculo dado. Realmente era el primer paso de un estudio más amplio y general: hacer una figura geométrica del mismo área que otra.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Squaring_the_circle.svg/250px-Squaring_the_circle.svg.png

Cuando las figuras tienen lados lineales, se puede conseguir con relativa facilidad, pero no cuando una de las figuras tiene lados curvos (con el círculo como caso típico, al ser una figura con un único lado no lineal, por eso se empezó con esa figura).

Hasta finales del siglo XIX no se demostró matemáticamente que este problema era irresoluble sólo con regla y compás. Pero permitió desarrollar otras herramientas (como las secciones cónicas). El problema es cómo trazar una recta de longitud pi ( que surge de hacer la relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo, una relación que los griegos intuían estaba relacionada con el área del propio círculo aunque no sabían como) usando una regla sin marcas y un compás.

Se puede tener una muy buena aproximación circunscribiendo e inscribiendo un polígono de 96 lados (como hizo Arquímedes, obteniendo un resultado de 3+1/7). Las técnicas actuales para calcular pi con millones de decimales deriva del trabajo del indio Srivanasa Ramanujan allá a principios del siglo XX. Pero fue Von Lindemann quien probó que al ser pi un número trascendental, este problema nunca tendría solución. Pero gracias a ese problema se tiene el cálculo integral. 

Trisecar un ángulo, es decir, dividir un ángulo en tres partes iguales, está relacionado con construir un polígono regular con un número arbitrario de lados (que se construiría dividiendo un ángulo en un número arbitrario de ángulos menores).

Dividir un ángulo en dos es fácil, y dividir en tres algunos ángulos también se puede hacer (como el de 90º, claro que antes hay que saber usar secciones cónicas, cosa que los griegos no podían hacer con regla y compás). Hasta 1837 no se demostró que era un problema irresoluble: trisecar un ángulo implica resolver una ecuación cúbica, algo que no se puede hacer con una regla y un compás.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Bisection_construction.gif

Duplicar un cubo. Es decir, hacer un cubo de volumen doble a uno dado, no hacer dos cubos iguales. Este problema podría haber surgido de dos formas distintas. La primera cuenta que el oráculo de Delos ordenó que el altar de su templo (que era un cubo), se hiciera el doble de grande si no querían que los habitantes de Delos sufrieran una plaga (jodidos que eran los diosecillos esos). Como no lo daban hecho, fueron a preguntarle a Platón, que como tampoco debía tener mucha idea se sacó el muerto de encima diciéndoles que aquello era un castigo por no querer estudiar geometría. Según parece la plaga se los cepilló bien cepillados. Así que en ocasiones el problema de duplicar un cubo también se le conoce como el problema de Delos.

La segunda versión habla del rey Minos, que ordenó erigir una tumba para su hijo Glauco. Al acabar (como nos ha pasado a todos los que hemos caído en manos de constructores) no quedó contento con el tamaño pues cada lado "solo" tenía unos 30m de largo. Así que pidió que se doblase la longitud de cada lado para obtener, dijo, un tumba el doble de grande.

Es decir, que la primera tumba tendría un volumen: V1 = largo x ancho x alto; y la segunda tendría que ser V2 = 2largo x 2ancho x 2alto, es decir V2 = 8(largo x ancho x alto). Así que doblando la longitud, se multiplicaba por 8 el volumen.

Aquello se arregló (lo que no apañe un constructor manitas...) ya en la época, usando las famosas curvas cónica, pero no se puede hacer con regla y compás.

Hipócrates encontró que para resolver el problema (de la forma que fuese) había que resolver antes otro: encontrar las dos proporciones medias entre una linea y otra linea que sea el doble de la primera. En actual: encontrar x e y tal que a/x = x/y =y/2a, o sea x al cubo = 2a al cubo (siento no saber hacer una notación mejor sin copiar-pegar). Resumiendo, un cubo con lado x tendrá el doble de volumen que el cubo con lado a. Claro es una ecuación cúbica, que se resuelve geométricamente con las secciones cúbicas esas. En vez de usar regla y compás (líneas y círculos) hay que usar parábolas y círculos.